Grundlagen zur Investitionsrechnung

Gerade bei der Investition in eine Solaranlage interessiert man sich sehr für die sogenannte Rendite dieser Investition. Wie sehr lohnt es sich denn jetzt, die Anlage zu kaufen? Wieviel Gewinn mache ich pro Jahr? Ist es jetzt besser, mein Geld in die Solaranlage zu investieren oder es auf ein Sparbuch einzuzahlen? Glücklicherweise gibt es zur Beantwortung dieser Fragen bereits ausgereifte Werkzeuge aus der Investitionsrechnung. Zwei dieser Werkzeuge, die Interne-Zinsfuß-Methode und die Kapitalwertmethode, sind meiner Meinung nach gut geeignet, all diese Fragen zu beantworten.

Kapitalwertmethode

Mit der Kapitalwertmethode kann man die Frage beantworten, ob sich die Investition in eine Solaranlage nun lohnt oder nicht. Dazu entscheidet man sich zuerst für einen Kalkulationszinssatz $i$ , den man mindestens als jährliche Verzinsung des investierten Kapitals sehen möchte. Sagen wir zum Beispiel, dass mir meine Bank auf Spareinlagen einen Zinssatz von 1% garantiert. Dann erwarte ich von meiner Investition in eine Solaranlage auch mindestens diese Rendite von 1%. Genau genommen erwarte ich sogar mehr, da ich bei der Investition auch ein gewisses unternehmerisches Risiko tragen muss. Rechnen wir also mit einem Kalkulationszinssatz von $i=2\%$ .

Sagen wir weiterhin, dass ich für die Anschaffung einer 5 kWp Photovoltaikanlage Investitionskosten in Höhe von $I=7000$ € im Jahr $t=0$ aufbringen muss. Dafür rechne ich $T=20$ Jahre lang mit einem jährlichen Überschuss von $Z_t=400$ €. Ich plane auch jetzt schon, die komplette Anlage am Ende des Jahres $t=20$ für etwa 10% der Investitionskosten zu liquidieren, also für $L=700$ €. Die Formel für den Kapitalwert dieser Investition lautet dann:

$\begin{align*} K_0(i) = -I + \sum_{t=1}^{T} \frac{Z_t}{(1+i)^t} + \frac{L}{(1+i)^T} \end{align*}$

Für unser Beispiel ergibt sich ein Kapitalwert von $K_0(2\%)=11,65$ €. Zur Vereinfachung der Summe kann für gleichhohe Auszahlungen $Z_t = Z$ die Summenformel der geometrischen Reihe verwendet werden. Bei der Interpretation dieses Zahlenwertes muss man jetzt ein bisschen Vorsicht walten lassen. Die beste Nachricht zuerst: Da der Kapitalwert positiv ist, haben wir am Ende des Jahres $T=20$ unser investiertes Kapital zurückerhalten und zusätzlich wurde unser gebundenes Kapital bis zum Zeitpunkt seiner Auszahlung mit ein bisschen mehr als unserem Kalkulationszinssatz $i=2\%$ verzinst!

Was bedeutet dieses „bis zum Zeitpunkt seiner Auszahlung“? Es ist eigentlich ganz einfach: Offensichtlich bekommen wir ja bereits ab dem ersten Jahr Geld zurück, das dann nicht mehr in unserer Solaranlage steckt und somit nicht mehr von ihr verzinst wird. Dieses Geld können wir nun beispielsweise als Spareinlage bei der Bank einzahlen. Da der Kapitalwert der Solaranlage positiv ist, haben wir am Ende ihrer Laufzeit auf einem Sparkonto, das wir mit ihren Auszahlungen füttern, mehr Geld als auf einem Sparkonto, das wir 20 Jahre vorher mit dem investierten Kapital $I$ gestartet hätten. Diese Aussage ist richtig, solange für den Zinsertrag $p$ unseres Sparkontos $K_0(p)>0$ gilt. Allerdings kann uns der Kapitalwert keine direkte Aussage darüber liefern, wieviel Geld wir am Ende der 20 jährigen Laufzeit unserer Investition tatsächlich besitzen. Denn, wie schon gesagt, hängt das auch stark davon ab, was wir mit dem zurückgewonnen Kapital in den Jahren dazwischen anstellen.

Ist der Kapitalwert einer Investition negativ, dann wird der angestrebte Kalkulationszinssatz $i$ für das gebundene Kapital nicht erreicht und man sollte lieber die Finger von der Investition lassen. Die Kapitalwertmethode kann man auch sehr gut für Investitionen mit unregelmäßigen Auszahlungen $Z_t$ einsetzen. Eine interessante Frage ist jetzt, bei welchem Zinssatz $i$ das Sparkonto und die Solar-Investition gleich gut sind. Diesen Zinssatz nennt man auch internen Zinsfuß.

Interne-Zinsfuß-Methode

Der interne Zinsfuß einer Investition ist genau der Zinssatz $i$ , bei dem ihr Kapitalwert $K_0(i)$ gleich Null ist:

$\begin{align*} K_0(i) = -I + \sum_{t=1}^{T} \frac{Z_t}{(1+i)^t} + \frac{L}{(1+i)^T} \stackrel{!}{=}0 \end{align*}$

Zur Interpretation des Ergebnisses wollen wir einmal das Beispiel des guten alten Sparkontos betrachten. Im ersten Fall möchte ich $I=1000$ € für 3 Jahre auf meinem Sparkonto mit $p=2\%$ jährlichen Zinsen liegen lassen. Die Auszahlungsstruktur sieht dann wie folgt aus:

Periode	Auszahlung [€]	Auszahlung Formel
0	-1000	$-I$
1	0	0
2	0	0
3	1061,21	$I \cdot (1+p)^3$
Summe:	61,21

Setzen wir die Formeln für die Auszahlungen in die Gleichung zur Berechnung des internen Zinsfußes ein, ergibt sich $i=p$ :

$\begin{align*} -I + \frac{I \cdot (1+p)^3}{(1+i)^3} &\stackrel{!}{=}0 \\ \Rightarrow \qquad i &= p \end{align*}$

Wir könnten uns aber auch dazu entschließen, die Zinsen jedes Jahr vom Sparkonto abzuheben und uns dafür im Sommer mehr Eis zu gönnen. Dann sieht die Auszahlungsstruktur etwas anders aus:

Periode	Auszahlung [€]	Auszahlung Formel
0	-1000	$-I$
1	20	$p \cdot I$
2	20	$p \cdot I$
3	1020	$(1+p) \cdot I$
Summe:	60

Wieder ergibt sich für den internen Zinsfuß $i=p$ . Das können wir testen, indem wir in die Gleichung des internen Zinsfußes unsere neue Auszahlungsstruktur und für $i$ einfach $p$ einsetzen:

$\begin{align*} -I + \frac{I \cdot p}{(1+i)} + \frac{I \cdot p}{(1+i)^2} + \frac{I \cdot (1+p)}{(1+i)^3} &\stackrel{!}{=}0 \\ \Leftrightarrow \qquad I \cdot \left( -1 + \frac{p}{1+p} + \frac{p}{(1+p)^2} + \frac{1}{(1+p)^2} \right) &\stackrel{!}{=}0 \\ \Leftrightarrow \qquad I \cdot \left( -1 + \frac{p}{1+p} + \frac{1+p}{(1+p)^2} \right) &\stackrel{!}{=}0 \\ \Leftrightarrow \qquad I \cdot \left( -1 + \frac{1+p}{1+p} \right) &\stackrel{!}{=}0 \\ \Leftrightarrow \qquad 0 &\stackrel{!}{=}0 \end{align*}$

Wir bekommen also in beiden Fällen den Effektivzins unseres Sparkontos als Ergebnis heraus. Ich persönlich fand das ein wenig überraschend, da ich im ersten Fall nach den drei Jahren mehr Geld besitze als im zweiten Fall. Mittlerweile finde ich das sehr schön an der Internen-Zinsfuß-Methode: Als Ergebnis erhalte ich immer die Verzinsung des Kapitals, das noch in meiner Investition gebunden ist, unabhängig von der Auszahlungsstruktur, der Laufzeit meiner Investition und der Verwendung des ausgezahlten Kapitals. Im zweiten Beispiel heben wir jedes Jahr die Zinsen von unserem Sparkonto ab und kaufen uns davon Eis. Es ändert sich dadurch zwar die insgesamt erzielte Geldsumme am Ende der 3 Jahre, aber der Zinssatz der Bank bleibt bestehen. Und genau das spiegelt auch die Interne-Zinsfuß-Methode wider, indem wir mit ihr den Zinssatz ermitteln können, den wir auf das Kapital erhalten, das noch in unserer Solaranlage steckt. Es ergibt sich damit auch eine schöne Faustregel zur Maximierung des eigenen Vermögens: Investiere das Geld, das deine Investition abwirft, wieder neu in eine Anlageform mit möglichst hohem internen Zinsfuß!

Einen kleinen Haken hat diese Methode allerdings: Es gibt keine Formel, mit der man einfach den internen Zinsfuß ausrechnen kann. Dafür muss man die Gleichung $K_0(i)=0$ numerisch lösen. Die Worte „numerisch lösen“ bedeuten soviel wie „geschickt raten“. Das kann man manuell tun, oder den Computer erledigen lassen. Eine sehr einfache Möglichkeit, die Gleichung numerisch zu lösen, bietet beispielsweise das Solver-Add-In von Microsoft Excel. Eine manuelle Methode ist z.B. im deutschen Wikipedia-Artikel zu dem Thema erklärt.

Für das Beispiel der Solaranlage aus dem ersten Teil dieses Artikels ergibt sich ein interner Zinsfuß von 2,02%. Das erklärt auch, warum wir bei unserer Kapitalwertberechnung nur 11,65€ im Plus waren: Unser Kalkulationszinssatz war einfach verdammt nahe am internen Zinsfuß der Investition.

Fazit

Die beiden Werkzeuge Kapitalwertmethode und Interne-Zinsfuß-Methode sind gut geeignet, die Rendite von Investitionen in Solaranlagen zu ermitteln und mit anderen Investitionsmöglichkeiten zu vergleichen. Dennoch sollte man im Hinterkopf behalten, dass unternehmerische Investitionen in der Regel mit mehr Risiken behaftet sind als andere Anlagemöglichkeiten und deshalb auf den Kalkulationszinssatz immer ein gewisser Risikoaufschlag addiert werden sollte.